Conceptos de la matemática

¿Por qué es importante el estudio de la matemática? Una de las respuestas que me han dado a esta pregunta es que la matemática ordena las funciones cerebrales. Facilita que los niños aprendan a pensar lógicamente. Pero me pregunto ¿no serviría para ese fin algunos juegos como el ajedrez? La matemática tiene otros propósitos más importantes, uno de ellos es ayudarnos en el negocio. Los jóvenes egresados del colegio tienen la habilidad de solucionar los ejercicios matemáticos en el papel, utilizando fórmulas y tablas, pero ¿saben resolver los problemas que encontrarán en la vida cotidiana? Si tienen que averiguar la cantidad de pintura que se necesita para pintar una casa ¿sabrán si se tiene que sumar, restar, multiplicar o dividir el tamaño de las ventanas y las murallas? En realidad, muchos existen como “matemáticos iletrados”. La manera histórica y aceptada de enseñar la matemática simplemente no sirve en muchos casos.

Las tareas diseñadas para meter en la cabeza de los niños las fórmulas y tablas, luego pocos usadas, se está reconociendo ahora como un sistema anticuado y poco efectivo. En cambio ahora se les anima a los estudiantes a descubrir, a preguntar ¿porqué? y ¿cómo? Es mejor que se les permita usar la calculadora, y que se pasen el tiempo razonando las ideas y descubriendo los diseños matemáticos.

En 1929 el superintendente de escuelas en la ciudad de Manchester, estado de New Hampshire, llamado L. P. Benezet, se preocupó por la falta de habilidad en los niños especialmente en relación a los temas del lenguaje, la gramática y la habilidad para comunicar sus ideas. Escribió: “Resolví hacer un experimento abandonando toda forma de instrucción formal en cuanto a la aritmética antes del séptimo grado y en cambio concentrar la enseñanza de los niños en leer, razonar y recitar.” Los niños realizaban reportajes de libros que habían leído y de incidentes que habían visto. No se les obligó a esforzarse por seguir el proceso de la división escrita. “Por unos cuantos años”, continuó, “había notado que el esfuerzo en la temprana introducción de la aritmética había resultado en entorpecer y casi anestesiar las facultades del razonamiento en los niños.”[1]

Pero a través de los años los números se fueron insinuando en la experiencia de los niños. Aprendieron a dividir en dos y doblar una cantidad, y de hacer estimaciones de tamaño, y así con el desarrollo natural de las tablas de multiplicar, llegando lentamente a la aritmética formal. Benezet terminó en concluir que los niños que no fueron arrastrados a la temprana pero poco comprendida aritmética por fin terminaron en adelantarse por encima de los demás. La capacidad de leer y escribir, y la capacidad de reflexionar independientemente y de hablar y escribir claramente también les ayuda a muchos a obtener mayores resultados con la matemática.

Veremos que la visualización es lo que más capacita al niño para la matemática. El niño que puede dibujar el problema lo habrá comprendido y también le será fácil solucionarlo, aún cuando no conoce las fórmulas y tablas. Mejor no preguntarle entonces, ¿Cuánto son 5 menos 3? Pero más bien: Tengo cinco galletas y voy a regalarte tres. ¿Cuántas me quedarán? “Cuando los niñitos se encuentran por primera vez frente a los números, SIEMPRE deberían conocerlos como adjetivos y no como sustantivos. No decirles al principio ‘tres’ o ‘siete’ a solas, pero más bien siempre ‘dos monedas’ o ‘tres fósforos’ o ‘cuatro cucharas’, o lo que sea.”[2]

Aprendiendo la matemática desde chiquitos. En un reportaje especial se escribió que un número creciente de educadores en escuelas públicas y privadas están reconociendo que a los niños de entre 5 y 8 años se les debe enseñar de diferente modo que a los niños de mayor edad. Ellos reconocieron que “los niños menores aprenden mejor mediante métodos educacionales de experiencia práctica tales como juegos y dramatizaciones.”[3]Se asevera que los niños de 6 años de edad pueden fácilmente comprender la adición y la substracción si tienen objetos concretos para contar en vez de una serie de números escritos en la pizarra.

Los discursos no les ayudan. Los chiquillos aprenden a razonar y a comunicarse mediante la conversación. Sin embargo los profesores todavía hablan a, y no con, sus alumnos. Se notó que: “observaciones y trabajos extensivos en el laboratorio indican que los chiquillos pueden aprender el lenguaje—hablando, escribiendo o leyendo—solo al presentarlo de tal forma que a ellos les parece tener sentido.”

Forma de aprender para los adultos. Según Jay Gilbert, presidente de una empresa de desarrollo profesional en Nueva York, no vale la pena gastar el tiempo en cursos de adelantamiento. “El modelo ‘escolar’ para continuar la educación—enseñando cursos según el juicio de algún profesor en cuanto a lo necesario de aprender—cae en conflicto con todo lo que se conoce científicamente acerca de la manera en que los adultos logran aprender…” En vez de profesores y libros de texto, Gilbert aconseja, prueben usar proyectos relacionados al trabajo. De hecho, dice Gilbert, “como los proyectos están correlacionados con necesidades reales e inmediatas del trabajo, los ingenieros desarrollarán automáticamente el sentido de tecnología propietaria y de participación que la tutoría nunca iba a proporcionarles.”[4]

Y ¿cómo aprenden entonces los estudiantes? Las investigaciones repasadas por Raymond Moore señalan que niños con enseñanza menos formal lograron adelantarse más de los que aprendieron mediante los programas convencionales, “y los que nunca fueron enseñados tuvieron el mayor éxito”. Declaró que “mientras menos rígido es su programa de educación en casa, más seguro será su éxito”. [5]

Linda Montgomery, directora de King’s High School (enseñanza media) en Seattle, entrevistó a 86 niños enseñados en casa (mayores de 9 años de edad) y a sus padres, en una investigación que realizó como parte de la tesis de su doctorado. Ella notó que estos niños parecían estar aprendiendo al dedicarse a sus intereses e ideas, construyendo y trabajando con sus manos, y estando solos y pensativos. Observó que tener la libertad para jugar parece contar altamente en el crecimiento intelectual y el desarrollo del liderazgo.

La Dra. Montgomery encontró que “la mayoría de los adolescentes de familias escolares en el estado (de Washington) están avanzando por sobre sus pares ingresados en los colegios o por lo menos no estaban perdiendo lugar en su preparación para una vida adulta de éxito y liderazgo. Postuló que el 79% ya tenían trabajo fuera de casa además de sus responsabilidades dentro de la familia. Concluyó que, dado la increíble oportunidad que ofrece la enseñanza en casa, existen muchos motivo para esperar que este sistema produzca el tipo de líderes que deseamos y necesitamos.

Primeras lecciones. El primer entendimiento del niñito en cuanto a los números comienza cuando puede diferenciar entre ‘uno’ y ‘algunos’. Después llega a comprender que cinco galletas por cierto le satisface más que sólo dos. Así desarrolla gradualmente el concepto de cantidad. Al mismo tiempo, el niño aprende el vocabulario de los números. Puede contar hasta diez varios meses antes de poder realmente reconocer la diferencia entre seis pasas y ocho pasas.

El escritor y pedagogo John Holt comentó: “Sin duda a las maestras de primer grado les gusta que los niños puedan recitar ‘uno, dos, tres…’ pero esta habilidad no tiene necesariamente que ver con la comprensión de los números.”[6] Cuando él sugiere que los niños debieran conocer los números en primer lugar como adjetivos, no como sustantivos, es para que vean que el ‘cinco’ es la cualidad que todos los grupos de cinco tienen en común. Podemos decir que cuando un niño muestra cuatro dedos para indicar su edad, es porque está comenzando a asociar números con una cantidad.

Experiencia práctica en las matemáticas. Al comenzar las experiencias matemáticas en la vida diaria, los niños descubren que se puede sumar y restar objetos además que contarlos. Ayudando a preparar la mesa, el niño reconoce que necesitará más platos si hay visitas. Contando los centavos en su alcancía se convierte en adición cuando adquiere unas monedas de cinco o de diez. Una mujer vecina le contó a mi hijo de cinco años que su perra había dado a luz unos 13 perritos. “Ahora tenemos 13 perritos en casa” dijo ella. Pero después añadió que un amigo se había llevado uno así que ahora habían solo 12.

El niño, sin duda imaginando que podría regalarle uno a él, se quedó pensándolo y después de un momento dijo: “Si regalaras otro perrito, te quedarían 11.”

“Sí” contestó ella, “¿y cuántos tendría si regalara otro más?”

Esta vez sólo se demoró unos segundos en contestar: “¡Diez!” Había en ese momento descubierto el concepto de substracción. No fue con 13 – 1 = 12, como en la escuela. Fue 13, 12, 11 perritos menos un perrito son cada vez un número menos. No solo números, sino números de perritos. Y aunque no estaban allí los perritos, él los podía visualizar.

La importancia de la visualización. Un fundamento sólido en la matemática requiere que uno pueda visualizar el problema. Durante muchos años se lo enseñaba como una ciencia abstracta, con tristes resultados en muchas instancias. Pero después de todo, la matemática tiene que ver con realidades—toneladas de trigo, grados de inclinación, años luz de distancias intergalácticas, y pesos y centavos en el mercado.

Entonces, lo que más necesitan los niños es experimentar la visualización de las fórmulas y ecuaciones matemáticas. Esto se logra preferentemente mediante los problemas de la vida real relacionados con objetos que pueden manipular. La abuelita me regaló dos autitos y yo ya tenía cinco. Así que ¿cuántos tengo ahora? Si tengo 64 pesos ¿será suficiente para comprar un caramelo a 25 pesos y también una pelota a 49 pesos? Si hemos invitado a tres amigos a cenar, y mamá me hace limpiar dos tazas de lentejas para los cuatro de la familia ¿cuántas lentejas tendré que limpiar para compartir con las visitas?

Si al niño le cuesta resolver estos problemas cotidianos, sería bueno animarlo a efectivamente contar los autitos, o amontonar los pesos en dos grupos (uno para el caramelo y el otro para la pelota), o medir las dos tazas de lentejas divididas en cuatro platos y luego juntar tres para saber cuánto añadir para las visitas. Entonces, en el futuro él tendrá la habilidad de visualizar el proceso para solucionar problemas similares, así logrando un entendimiento de cómo usamos los números. Sin embargo, hacer ejercicios parecidos a éstos pero de manera formal y didáctica no es lo mismo. Lo importante es aprender de la vida.

¡En vez de memorizar, jugar! La mayoría de los niños no disfrutan del ejercicio de aprender los datos matemáticos. Las tablas de multiplicación no son muy divertidas y, una vez memorizadas, es fácil olvidarlas. Pero si los niños juegan al Dominó, Monopolio, o Scrabble (juego de palabras) por ejemplo, estarán realmente practicando sus datos matemáticos sin desagrado. Aún aprenden sumando los puntajes y así ganan más experiencia matemática. Juegos de computador facilitan que el niño desarrolle un sentido de relación entre distancia, velocidad y el tiempo. Juegos de lógica como el ajedrez y los naipes proporcionan mucha práctica en el razonamiento y el pensamiento analítico, y en el análisis de los pasos consecuentes que servirán para resolver los problemas matemáticos en la vida.

Se hicieron los dedos antes de las calculadoras. Solíamos decir a los niños que no deberían usar los dedos para contar, aunque casi todos los hemos usado en alguna oportunidad. Luego supimos de la matemática digital, un sistema oriental de computación en que los niños aprenden a sumar, restar, multiplicar y dividir más rápido que con calculadoras—usando los dedos.[7] El profesor universitario, John Firkins, nos dijo: “Los niños que usan calculadoras salen tan bien como los que nunca las tuvieron. En verdad, lo hacen mejor y se mantienen en la calculación.” Por supuesto, los niños tienen que comprender el concepto de sumar o de multiplicar para lograr algún fin usando la calculadora. Pero ni Albert Einstein aprendió las tablas de multiplicación. Tenía la cabeza llena de cosas más importantes que ello. Y si se olvida de lo que no se usa, ¿por qué van a aprender las tablas para luego olvidarlas cuando se les regale una calculadora? Y acaso ¿cuántos matemáticos se memorizaron las tablas de logaritmo, si es tan importante el memorizar? Las habilidades matemáticas son para resolver problemas, y los niños siempre van a encontrarse con problemas para resolver.

Lo que les corresponde. Afortunadamente (para el bien de las habilidades matemáticas), los niños suelen estar intensamente interesados en recibir lo que les corresponde, sea por ejemplo su porción del pastel. Cuando sobró 4/6 de un pastel para el otro día, mis hijos se preguntaban cómo lo íbamos a dividir para el almuerzo. Isaí y José querían asegurarse de que mamá lo iba a dividir justo entre los tres, así que tuvimos una discusión en cuanto a como dividir el pastel. Ellos podían ver el pastel, imaginarse los sextos restantes todos divididos, y en su mente contar los trozos para saber cuantos sextos serían un pastel completo. Aunque tenían solo 5 y 9 años respectivamente, comprendieron fácilmente como había que multiplicar las fracciones al dividirlas—lo que no es comprendido por muchos que aprendieron en el colegio. Así ganaban la experiencia de visualizar problemas de fracciones.

Más tarde les confeccioné un juego de fracciones construida de cartulina. Se puede cortar en papel de diferentes colores, de fábrica u otro material adecuado. (A veces se me ha preguntado por qué no escribo la fracción por encima, pero me parece que el descubrimiento es muy importante en el aprendizaje. El niño puede aprender por sí solo al contar las piezas que se requiere para completar un cuadrado entero. Si se requiere cuatro piezas para hacer un cuadrado, se llaman “cuartos”. Y así se va descubriendo los demás.) Cuando les hice una sugerencia de mezclar las fracciones e intentar hacer cuadrados de múltiples colores, el menor descubrió que no era posible mezclar algunas. Me dijo, “Parece que hay dos familias, mamá. Una familia de los 2, 4, y 8 y la otra familia de 3, 6, y 9.” Más tarde se dio cuenta que los de 1/12 podían mezclarse con las dos familias. A la edad de 5 años se había quedado encantado jugando por casi hora y media con las fracciones. Y ¡nunca sonó la campana para cambiar de clase!

Aunque los niños egresados del colegio tienen algún conocimiento de las fórmulas y tablas, les suele ser difícil aplicarlas al diario vivir. En cambio, mis hijos tienen muchas experiencias resolviendo los problemas de la vida y también tienen la oportunidad de observar cómo los resolvemos nosotros como adultos.

__________ 1) Véase www.inference.phy.cam.ac.uk/sanjoy/benezet 2) John Holt, de una carta publicada en The New Schools Exchange Newsletter, No. 132, 31 de Marzo, 1976. 3) B. Kantrowitz y P. Wingert en Newsweek, 17 de Abril, 1989 4) Carole Patton, artículo en Electronic Design, Junio, 1986 5) Raymond & Dorothy Moore en Family Report (sin fecha) 6) Obra citada 7) Se llama “chi-sen-bop” o “finger math” (véase el tutorial: klingon.cs.iupui.edu/~aharris/chis/chis.html)